再次求导，使用链式法则，得到

$$\begin{aligned}\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dt}{dx} \quad (\text{this is an important step}) \ &= \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt} \ &= \frac{\frac{2}{3}(-1/t^2)}{3t^2} = -\frac{2}{9} \frac{1}{t^4}\end{aligned}$$

(b) 这里 $x$ 和 $y$ 由方程联系起来

$$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$$

因此如例 8.24 中那样

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$$

和

$$(y + 2) \frac{dy}{dx} + x - 1 = 0$$

再次求导得到

$$\left(\frac{dy}{dx}\right) \frac{dy}{dx} + (y + 2) \frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$$

使用乘积法则并记住

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2}$$

整理后，我们得到

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1 + (dy/dx)^2}{y + 2} \quad (y \neq -2)$$

并代入

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{2 + y}$$

代入右边最终得到

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5}{(2 + y)^3}$$

利用原方程，这可以进一步化简为

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{25}{(2 + y)^3} \quad (y \neq -2)$$