关于高阶导数的进一步结果在练习 8.4.2 中给出。这些内容总体上是前面工作的直接推广。有一个结果有时会导致错误，那就是反函数法则向高阶导数的推广。

我们知道

$$\frac{dx}{dy} = 1 / \frac{dy}{dx}$$

求 $x$ 关于 $y$ 的二阶导数

$$\begin{aligned} \frac{d^2x}{dy^2} &= \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right) = \frac{d}{dy} \left[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right] \ &= \frac{d}{dx} \left[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right] \frac{dx}{dy} \quad (\text{using the chain rule}) \ &= \left[ -\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) / \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right] \left[ 1 / \frac{dy}{dx} \right] \end{aligned}$$

需要稍加小心：

$$\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{d^2y}{dx^2} / \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$$

因此

8.4.2 练习 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 使用 MATLAB 检查你的答案。

60 求 $y$ 当 $x^3\sqrt{1+x^2}$

(b) $\ln(x^2 + x + 1)$

(c) $y^3x + y + 7x^4 = 4$

(d) $x^3 - y^3 - xy - x = 0$

由下式给出时

(a) 61 求 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 当 $x$ 和 $y$ 已知时

(a) $x = t \sin t$ 和 $y = t \cos t$

(b) $x = 2 \cos t + \cos 2t$ 和 $y = 2 \sin t - \sin 2t$

62 若 $y = 3e^{2x} \cos(2x - 3)$ ，验证

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 8y = 0$$

63 若 $y = (\sin^{-1}x)^2$ ，证明

$$(1 - x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y$$

并由此推出

$$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - 2 = 0$$

64 (a) 若 $y = x^2 + 1/x^2$ ，求 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$ 。由此证明

$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 4x \frac{dy}{dx} + 2y = 12x^2$$

(b) 若 $x = \tan t$ 且 $y = \cot t$ ，证明

$$\frac{d^2y}{dx^2} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

65 若 $x = a(\theta - \sin \theta)$ 且 $y = a(1 - \cos \theta)$ ，求 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$ .