66 求 $dy/dx$ 关于 $t$ 对于由参数方程表示的曲线

$$x = \frac{1-t}{1+2t} \quad y = \frac{1-2t}{1+t}$$

证明

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{3}\left(\frac{1+2t}{1+t}\right)^2$$

并求出 $d^2x/dy^2$ 的类似表达式。

67 验证点 $(1, 1)$ 位于方程为 $x^3 - y^2 + xy - x^2 = 0$ 的曲线上，并求出在该点处 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$ 的值。

• 68 求 $f^{(4)}(x)$ 和 $f^{(n)}(x)$

(a) $$e^{3x}$$                      (b) $\ln(x + 2)$

(c) $$\frac{1}{1 - x^2}$$

• 69 求 的四阶导数 $f(x) = \sin(ax + b)$ 并验证 $f^{(n)}(x) = a^n \sin(ax + b + \frac{1}{2}n\pi)$ 。

70 证明

证明 $$\frac{d^n}{dx^n}(e^{ax}\sin bx) = (a^2 + b^2)^{n/2}e^{ax}\sin(bx + n\theta)$$ 其中 $\cos \theta = a/\sqrt{(a^2 + b^2)}$ , $\sin \theta = b/\sqrt{(a^2 + b^2)}$ 。 若 $y = u(x)v(x)$ ，证明

其中 $\cos \theta = a \sqrt{(a^2 + b^2)}$ , $\sin \theta = b \sqrt{(a^2 + b^2)}$ 。

71 若 $y = u(x)v(x)$ ，证明

$$\begin{aligned} (a) \quad y^{(2)}(x) &= u^{(2)}(x)v(x) + 2u^{(1)}(x)v^{(1)}(x) + u(x)v^{(2)}(x) \ (b) \quad y^{(3)}(x) &= u^{(3)}(x)v(x) + 3u^{(2)}(x)v^{(1)}(x) \ &\quad + 3u^{(1)}(x)v^{(2)}(x) + u(x)v^{(3)}(x) \end{aligned}$$

因此证明乘积的 n 阶导数的 莱布尼茨定理：

$$\begin{aligned} y^{(n)}(x) &= u^{(n)}(x)v(x) + \binom{n}{1}u^{(n-1)}(x)v^{(1)}(x) \ &\quad + \binom{n}{2}u^{(n-2)}(x)v^{(2)}(x) + \dots + u(x)v^{(n)}(x) \end{aligned}$$

72 利用莱布尼茨定理（第 71 题）求下列各题：

(a) $$\frac{d^5}{dx^5}(x^2 \sin x)$$ （代入 $u = \sin x$ , $v = x^2$ )

$$(b) \frac{d^4}{dx^4}(xe^{-x}) \quad (c) \frac{d^3}{dx^3}[x^2(3x+1)^{12}]$$

8.4.3 平面曲线的曲率

二阶导数 $d^2f/dx^2$ 表示 $df/dx$ 的变化率，从几何上看，这告诉我们图像 $x$ 的切线斜率随 $y = f(x)$ 增大而如何变化 $x$ .

• 如果 $d^2f/dx^2 > 0$ 那么 $df/dx$ 随着 $x$ 的增大而增大，且当我们沿水平轴移动时，切线沿逆时针方向旋转，如图 8.28(a) 所示。
• 如果 $d^2f/dx^2 < 0$ 则 $df/dx$ 随着 $x$ 的增大而减小，且当我们沿水平轴移动时，切线沿顺时针方向旋转，如图 8.28(b) 所示。

另请注意，当 $d^2f/dx^2 > 0$ 时， $y = f(x)$ 的图像是“凹向上”的；而当 $d^2f/dx^2 < 0$ 时，图像是“凹向下”的。因此， $d^2f/dx^2$ 的符号与图像的凹凸性有关；我们将在第 8.5.1 节中利用这一信息来定义拐点。

曲率 $\kappa$ 平面曲线的，其方程为 $y = f(x)$ 在任意一点处表示曲线在该点偏离切线弯曲或弯折的速率。换句话说，曲率度量了曲线的切线沿曲线移动时变化的速率。这意味着它将以某种方式依赖于 $d^2f/dx^2$ 。在曲线 $y = f(x)$ 上取两点 P 和 Q，沿曲线相距 $\Delta s$ （沿曲线测量）。然后，采用图 8.29(a) 中的记号，