曲线 PQ 的 $\Delta\theta/\Delta\varsigma$ 。然后我们将曲线在点 P 处的曲率定义为当 Q 趋近于 P 时的平均曲率的绝对值。即， $\kappa$ 如果我们现在构造一个圆，如图 8.29(b) 所示，使得它

$$\kappa = \left| \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} \right| = \left| \frac{d\theta}{ds} \right| \quad (8.27)$$

在 P 处与

• 有相同的切线， $y = f(x)$ ,
• 位于切线的同一侧， $y = f(x)$ 并且
• 具有与 $\kappa$ 在 P 处相同的曲率 $y = f(x)$ ，

那么这个圆就称为 P 处的密切圆（曲率圆）。它的半径 $\rho$ 称为 P 点的曲率半径，由下式给出

$$\rho = \text{raraius of curvature} = \frac{1}{\kappa}$$

该圆的圆心称为 P 点的曲率中心。显然，当曲率半径为无穷大时，曲率为零。

为了求出由如下形式方程给出的曲线的曲率 $y = f(x)$ ，我们必须得到一个比 (8.27) 更实用的公式。由于

$$\tan \theta = \text{slope of the tangent at } P = \frac{\text{dy}}{\text{dx}}$$

图 8.28
当
$\frac{dy}{dx}$ 增加时， $x$ 的变化率。

图 8.29
曲率与
曲率半径。