对 $s$ 求导，利用链式法则，得到

$$\sec^2\theta \frac{d\theta}{ds} = \frac{d^2y}{dx^2} \frac{dx}{ds}$$

因此

$$\frac{d\theta}{ds} = \frac{d^2y/dx^2}{[1 + (dy/dx)^2]} \frac{dx}{ds} \quad (8.28)$$

利用三角恒等式 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ 。

我们将在第 8.9.6 节中看到

$$\frac{ds}{dx} = \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]}$$

因此，根据反函数法则，

$$\frac{dx}{ds} = \frac{1}{ds/dx} = \frac{1}{\sqrt{[1 + (dy/dx)^2]}}$$

将其代入 (8.28) 得到公式

$$\kappa = \left| \frac{d\theta}{ds} \right| = \frac{|d^2y/dx^2|}{[1 + (dy/dx)^2]^{3/2}} \quad (8.29)$$

如果我们将曲率中心的坐标记为 $(X, Y)$ 那么由图 8.29(b) 可知

$$X = x - \rho \sin\theta, \quad Y = y + \rho \cos\theta$$

由于 $\tan\theta = dy/dx$ , 由此可得

$$\sin\theta = \frac{dy/dx}{\sqrt{[1 + (dy/dx)^2]}}, \quad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{[1 + (dy/dx)^2]}}$$

将这些结果与 $\rho = 1/\kappa$ ，其中 $\kappa$ 结合 (8.29)，可得曲率中心的坐标为

$$X = x - \frac{dy}{dx} \left[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right] / \frac{d^2y}{dx^2}, \quad Y = y + \left[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right] / \frac{d^2y}{dx^2} \quad (8.30)$$

虽然这些结果是针对图 8.29(b) 中的曲线推导的，该曲线在点 $P(x, y)$ 处具有正斜率（ $dy/dx > 0$ ）且向上凹（ $d^2y/dx^2 > 0$ ），但可以证明它们在所有情况下都成立。

留给读者作为练习证明：若曲线 $y = f(x)$ 以参数形式给出

$$x = g(t), \quad y = h(t)$$

则曲率 $\kappa$ 由下式给出

$$\kappa = \left| \frac{dg}{dt} \frac{d^2h}{dt^2} - \frac{d^2g}{dt^2} \frac{dh}{dt} \right| / \left[ \left( \frac{dg}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dh}{dt} \right)^2 \right]^{3/2} \quad (8.31)$$