图 8.33
经过拐点时
斜率的
变化。

最小值，对应于图像上的拐点，因此在使用水平切线作为最优值的判别方法时必须谨慎。在求函数的极值时，还需要检查函数定义域的端点（如果存在）。

图 8.31 给出了另一个需要谨慎的例子：在某些拐点——即图像穿过自身切线的点——切线可能是水平的。

需要谨慎的第三个原因是，函数可能在导数不存在的点处取得最优值。一个简单的例子是 $f(x) = x^{2/3}$ ，其图像如图 8.32 所示。

在确定了临界点或驻点（即 $f'(x) = 0$ 的点）之后，我们需要能够确定它们的性质或特征；也就是说，它们对应的是函数 $f(x)$ 的局部极大值、局部极小值还是拐点。我们可以通过考察临界点附近两侧的 $f'(x)$ 值来做到这一点。从图 8.33 可以看出，

• 如果 $f'(x)$ （即切线的斜率）的值在从左到右经过一个驻点时由正变为负，那么该驻点对应一个局部极大值；
• 如果 $f'(x)$ 的值在从左到右经过一个驻点时由负变为正，那么该驻点对应一个局部极小值；
• 如果 $f'(x)$ 当我们经过一个驻点时符号不发生改变，那么该点对应的是一个拐点。

图 8.31
具有水平
切线的图像。

图 8.32
图像： $f(x) = x^{2/3}$ ，
在以下位置取得最小值：
$x = 0$ 。

例 8.30 求函数的驻点

$$f(x) = 4x^3 - 21x^2 + 18x + 6$$