判断驻点性质的另一种方法是计算二阶导数的值 $f''(x)$ 在该点处的值。回顾 8.4.1 节的内容， $f''(x)$ 确定了 $f'(x)$ 的变化率。假设 $f(x)$ 在 $x = a$ 处有一个驻点，即 $f'(a) = 0$ 。那么，只要 $f''(a)$ 有定义，就有 $f''(a) < 0$ , $f''(a) = 0$ 或 $f''(a) > 0$ 。

如果 $f''(a) < 0$ 则 $f'(x)$ 在 $x = a$ 处递减；且由于 $f'(a) = 0$ ，可得 $f'(x) > 0$ 当 $x$ 略小于 $a$ 和 $f'(x) < 0$ 略大于 $x$ 时 $a$ 。因此我们得出结论 $x = a$ 对应于一个局部极大值。注意这与我们在第 8.4.1 节中的观察一致，即 $f''(x)$ 的符号决定了 $f(x)$ 图像的凹凸性。由于图像在局部极大值处是向下凹的， $f''(a) \leq 0$ 。等号成立的情形将在第 9.4.9 节中进一步讨论。

类似地，我们可以论证：如果 $f''(a) > 0$ ，则驻点 $x = a$ 对应于一个局部极小值。这同样与我们关于图像在局部极小值处是向上凹的观察一致。

总结起来，我们有

• 函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处有局部极大值，只要 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) < 0$ ;
• 该函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处取得局部最小值，前提是 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) > 0$ 。

如果 $f''(a) = 0$ ，我们不能假设 $x = a$ 对应于一个拐点，而必须转而考察驻点两侧 $f'(x)$ 的符号。如前所述，在拐点处，图像会穿过其自身的切线，换句话说，图像的凹凸性发生改变。由于凹凸性由 $f''(x)$ 的符号决定，因此在拐点处 $f''(x) = 0$ ，且 $f''(x)$ 在经过该点时改变符号。注意，如图 8.35 的图像所示，并不一定需要 $f'(x) = 0$ 在拐点处。如果，如图 8.31 所示， $f'(x) = 0$ 在拐点处，那么它是一个驻留拐点。然而，反过来并不成立，即如果 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) = 0$ 则 $x = a$ 是拐点。一个不成立的例子是 $y = x^4$ ，如图 8.36 所示，它有一个局部

图 8.35 在 $(a, f(a))$ .

图 8.36 $f(x) = x^4$ 的图像，展示了在处的局部最小值 $x = 0$ .