最小值位于 $x = 0$ 即使两者 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$ 在 $x = 0$ 处均为零。正是由于这个原因，我们必须小心行事，转而考虑 $f'(x)$ 两侧的符号。我们将在第 9.4.9 节中重新审视这些条件，届时会先讨论泰勒级数。

例 8.31 利用二阶导数，确认例 8.30 中所求函数的驻点的性质

$$f(x(x) = 4x^3 - 21x^2 + 18x + 6$$

。

解 我们有

$$f'(x) = 12x^2 - 42x + 18$$

因此

$$f''(x) = 24x - 42$$

在驻点 $(\frac{1}{2}, \frac{41}{4})$

$$f''(\frac{1}{2}) = 12 - 42 = -30 < 0$$

处，这证实了它对应于一个局部极大值。

在驻点 (3, -21)

$$f''(3) = 72 - 42 = 30 > 0$$

确认它对应于一个局部最小值。

另请注意 $f''(x) = 0$ 在 $x = \frac{7}{4}$ 以及 $f''(x) < 0$ 对于 $x < \frac{7}{4}$ 且 $f''(x) > 0$ 对于 $x > \frac{7}{4}$ 。因此 $(\frac{7}{4}, -\frac{43}{8})$ 是一个拐点（但不是驻定拐点），这在图 8.34 的图像中可以清楚地识别出来。

检验二阶导数的重要性将在下面的例子中说明。

例 8.32 用一张半径为 1 的圆形金属薄片制作两个圆锥。求使总容量最大化的截面角 $\theta$ （见图 8.37）。