解答 设 $R$ 为圆心角为扇形所成圆锥的底面半径， $\theta$ 和 $r$ 为圆心角为扇形所成圆锥的底面半径， $2\pi - \theta$ 。由圆锥的周长关系可得

$$1 \times \theta = 2\pi R$$ 和 $1 \times (2\pi - \theta) = 2\pi r$

连同

$$R + r = 1$$

底面半径为 $x$ 且母线长为 1 的圆锥的容积为

$$V'(R) = \frac{dC}{dR} + \frac{dC}{dr} \frac{dr}{dR} = \frac{dC}{dR} - \frac{dC}{dr}$$

其中

$$V'(R) = \frac{ac}{dR} + \frac{ac}{dr} \frac{ar}{dR} = \frac{ac}{dR} - \frac{ac}{dr}$$

因此 $V'(R) = 0$ 意味着

$$V'(R) = 0 \text{ implies } \frac{R(2 - 3R^2)}{\sqrt{(1 - R^2)}} = \frac{r(2 - 3r^2)}{\sqrt{(1 - r^2)}} \quad \text{with } R + r = 1$$

两边平方并代入 $r = 1 - R$ 最终得到多项式方程

$$6R^5 - 15R^4 + 24R^3 - 21R^2 + 8R - 1 = 0$$

这可以改写为

$$6R^5 - 15R^4 + 24R^3 - 21R^2 + 8R - 1 = 0$$

可以改写为

图 8.37