结合例 8.30 和例 8.31 中的三次函数，可以使用以下 MATLAB 命令来研究其驻点

syms x y y = 4*x^3 – 21*x^2 + 18*x + 6; dy = diff(y); solve(dy)

最后一条命令求解 $\text{dy} = 0$ 以得到驻点的 $x$ 坐标 3 和 $1/2$ ，而命令

$$y1 = \text{subs}(y, x, 3)$$

$y2 = \text{subs}(y, x, 1/2)$

确定相应的 y 坐标 $-21$ 和 $10.25$ ，因此驻点为 $(3, -21)$ 和 $(1/2, 10.25)$ 。命令

d2y = diff(y,2); subs(d2y,x,3) subs(d2y,x,1/2)

返回在每个驻点处二阶导数的值分别为 30 和 -30，从而证实 (3, -21) 是局部极小值，并且

8.5 在最优化问题中的应用 611

因此 $R = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \alpha$ 或 $\frac{1}{2} + \alpha$ , 其中 $\alpha = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}\right)}$ ，第二个（最终的）二次项没有实数根。数值上， $R = 0.5, 0.242, 13$ 或 $0.757, 87$ 当 $r = 0.5, 0.757, 87$ 或 $0.242, 13$ 时。

二阶导数给出

$$V''(R) = C''(R) + C''(r)$$

当

$$C''(x) = \frac{1}{3}\pi \frac{2 - 9x^2 + 6x^4}{(1 - x^2)^{3/2}}$$

在 $$R = \frac{1}{2}$$ ，

在 $R = \frac{1}{2}$ ,

$$C''\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{9\sqrt{3}}$$ 因此在 $R = r = \frac{1}{2}$ , 存在一个最小值。此外，根关于 $R = \frac{1}{2}$ 的对称性意味着在 $R = \frac{1}{2} \pm \alpha$ 处存在一个最大值，此时 $\theta = 4.76^\circ$ 或 $273^\circ$ 。 $C''(\frac{1}{2} \pm \alpha) = -2.6505$ 的值证实了这一结果。组合容量为 0.4520，而单个圆锥的容量为 0.4031。

$$C''\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{9\sqrt{3}}$$