(1/2, 10.25) 是一个局部最大值。最后，为了说明结果，用命令

ezplot(y,[–1,5]) 绘出该三次函数的图像。

例 8.33 求函数的驻点

$$f(x) = x^2 - 6x + \frac{82}{x} + \frac{45}{x^2}, \quad x \neq 0$$

解 导数为

$$f'(x) = 2x - 6 - \frac{82}{x^2} - \frac{90}{x^3}$$

且 $f'(x) = 0$ 当

$$2x^4 - 6x^3 - 82x - 90 = 0$$

因式分解得

$$2(x^2 - 4x - 5)(x^2 + x + 9) = 0$$

或

$$2(x + 1)(x - 5)(x^2 + x + 9) = 0$$

所以实根为 $x = 5$ 和 $x = -1$ 。

在 $x = 5$ , $f(5) = 66/5$ 。为判断这是最大值还是最小值，我们考察 的值 $f''(x)$ 在 $x = 5$ .

$$f''(x) = 2 + \frac{164}{x^3} + \frac{270}{x^4} \quad \text{and} \quad f''(5) > 0$$

因此 $f(5) = 66/5$ 是函数的最小值。

在 $x = -1, f(-1) = -30$ 和 $f''(-1) > 0$ 处，使得 $f(-1) = -30$ 也是函数的最小值。

注意 $f(x)$ 有一条渐近线 $x = 0$ 并且其表现类似于 $(x - 3)^2$ 其中 $|x|$ 非常大。

在许多应用中，出于实际原因我们知道某个特定问题存在一个最小值（或最大值）的解。如果方程 $f'(x) = 0$ 仅被一个合理的值所满足 $x$ 那么该值必定确定我们所求的唯一最小值（或最大值）。我们将用三个简单的例子来说明。