例 8.34某制造商每月需以恒定的日速率供应 $N$ 件产品。每次启动一次生产运行的成本为 $\mathcal{L}c_1$ ，即“准备”成本。此外，每件产品的制造成本为 $\mathcal{L}c_2$ 。为避免不必要的高生产成本，制造商决定一次生产大量产品 $q$ 并将其储存起来，直到合同要求交货。每件产品的月储存成本为 $\mathcal{L}c_3$ 。生产运行的最优规模是多少？

解由于合同要求每月供应 $N$ 件产品，我们需要寻找能使制造商每月总成本最小的生产运行规模。

制造商承担的成本包括生产成本和储存成本。一次生产 $q$ 件产品的生产成本为

$$\mathcal{L}(c_1 + c_2 q)$$

。这次生产运行将满足合同 $q/N$ 个月的需求，因此每月的生产成本为

$$\mathcal{L} \frac{c_1 + c_2 q}{q/N} = \mathcal{L} \left( \frac{c_1}{q} + c_2 \right) N$$

此外还必须加上每月的存储成本，即 $\mathcal{L} \frac{1}{2} q c_3$ 由于库存以均匀的速度消耗，平均库存量为 $\frac{1}{2} q$ 。因此每月的总成本 $\mathcal{L} C$ 由下式给出

$$C = \left( \frac{c_1}{q} + c_2 \right) N + \frac{1}{2} q c_3$$

其图像类似于图 8.38 所示的曲线。

为求出使 $q^*$ 最小化的 $q$ 的值，我们对 $C$ 的表达式关于 $C$ 求导，并令导数等于零： $q$

$$\frac{dC}{dq} = \frac{-c_1 N}{q^2} + \frac{1}{2} c_3$$

和

$$\frac{dC}{dq} = 0 \quad \text{implies} \quad \frac{-c_1 N}{(q^*)^2} + \frac{1}{2} c_3 = 0$$

因此

$$q^* = \sqrt{\left( \frac{2c_1 N}{c_3} \right)}$$

这个量称为经济批量。

图 8.38
月成本与生产批量（run size）的关系。

优化在设计中有重要作用，在例 8.35 中，我们通过将其应用于设计牛奶盒这一相对简单的问题来说明这一点。