例 8.35 一位牛奶零售商希望设计一种横截面为正方形的牛奶盒，如图 8.39(a) 所示，其容量为两品脱牛奶（2 品脱 $\equiv$ 1.136 升）。该牛奶盒由一张矩形蜡纸板制成，先折叠成方形管并封合边缘，然后折叠并封合顶部和底部。为了使制成的牛奶盒密封且坚固便于搬运，需要至少 5 mm 的重叠部分。该制作过程如图 8.39(b) 所示。由于牛奶零售商将使用大量此类牛奶盒，因此要求采用生产成本最低的设计。具体而言，零售商希望采用使所用蜡纸板量最少的设计。

解 如图 8.39(a) 所示，若容器的最终尺寸为 $h \times b\times d$ （均以 mm 计），则所需蜡纸板的面积为

$$A = (4b + 5)(h + b + 10) \quad (8.32)$$

由于牛奶盒的容量固定为两品脱（1.136 升）， $h$ 和 $b$ 的取值必须满足

体积 = $$hb^2 = 1136,000,\text{mm}^3$$ （8.33）

将（8.33）代回（8.32）可得

$$A = (4b + 5) \left( \frac{1136000}{b^2} + b + 10 \right)$$

为求使 $b$ 最小化的 $A$ 值，我们对其求导 $A$ 关于 $b$ 以求得 $A'(b)$ 然后令 $A'(b) = 0$ 。求导得

$$A'(b) = 8b + 45 - \frac{4,544,000}{b^2} - \frac{11,36,000}{b^3}$$

因此所需的 $b$ 的值由方程的根给出

$$8b^4 + 45b^3 - 4\ 544\ 000b - 11360\ 000 = 0$$

对该多项式进行简单的列表计算，或使用合适的软件包，可得一个根位于 $b = 81.8$ 。由 (8.33) 可得相应的 $h$ 的值为 169.8。因此牛奶盒的最优设计尺寸为 $81.8 \text{ mm} \times 81.8 \text{ mm} \times 169.8 \text{ mm}$ .

图 8.39
牛奶盒的构造。