优化问题也出现在工业中更换设备和机械的程序里。我们通过一个更常见的决策来说明：更换汽车的最佳策略。

例 8.36 某一型号的汽车，购入价为 14750 英镑， $t$ 年后的二手价值由以下公式相当准确地给出：

price = £e9.55⁻0.11*^t*

汽车的运行费用随着车龄增长而增加，因此 $t$ 年后每年的运行费用为 £(917 + 163t)。应当在何时更换汽车？

解 该汽车在 $t$ 年内的累计运行费用为

$$\begin{aligned} & \mathfrak{L} \sum_{r=0}^{t-1} (917 + 163r) = \mathfrak{L}917t + \mathfrak{L}163[1 + 2 + 3 + \dots + (t-1)] \ &= \mathfrak{L}917t + \mathfrak{L}\frac{163}{2}(t-1)t \left( \text{using } \sum_{r=1}^n r = \frac{1}{2}n(n+1) \right) \ &= \mathfrak{L}(835.5 + 81.5t)t \end{aligned}$$

汽车的总成本显然既包括折旧也包括运行费用，因此汽车的平均年成本 £C 由下式给出：

$$C = \frac{14750 - e^{9.55 - 0.11t} + (835.5 + 81.5t)t}{t}$$

为求更换汽车的最佳时间，我们求出使 $t$ 最小的 $C$ 的值。将 $C$ 对 $t$ 给出

$$C'(t) = \frac{1}{t^2} (14750 - e^{9.55-0.11t}) + \frac{1}{t} (0.11e^{9.55-0.11t}) + 81.5$$

设置 $C'(t) = 0$ 给出

$$e^{9.55 - 0.11t} = \frac{14750 - 81.5t^2}{1 + 0.11t}$$

对此进行数值求解可得 $t = 5.3$ .