8.5.2 习题

只要可能，请使用 MATLAB 核对你的答案。

79 求下列函数的驻点并确定其性质。在每种情况下，还要求出拐点并画出函数的图像。

(a) $$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$$

(b) $$f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 51$$

(c) $$f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 2$$

80 求下列函数的驻点，并仔细区分它们。在每种情况下画出函数的图像。

$$(a) \ f(x) = \frac{3x}{(x-1)(x-4)}$$

(b) $$f(x) = 2e^{-x}(x - 1)^3$$

(c) $$f(x) = x^2e^{-x}$$

$$(d) f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{8}{(1-x)^2}$$

81 考虑图 8.40 中所示的罐子，其容积为 500 ml。制造成本与所用金属量成正比，而金属量又与罐子的表面积成正比。忽略罐子制造中必要的重叠部分，求使成本最小的罐子的直径和高度。

证明使罐子面积最小的 d* 的值满足方程

$$\pi d^2(d + 1.8) = 2000$$

计算 d* 以及对应的罐子高度的值。

83 在海底电话电缆中，缆芯半径与保护层厚度之比记为 x。信号传输的速度 v 与 x² ln(1/x) 成正比。证明

$$\frac{dv}{dx} = Kx \left[ 2 \ln\left(\frac{1}{x}\right) - 1 \right]$$

其中 $K$ 为某个常数，从而推导出 $v$ 的驻点。区分这些驻点，并证明当 $x = 1/\sqrt{c}$ 时速度最大。

84 一个封闭的空心容器呈直圆锥形（连同其底面），由厚度可忽略的金属板制成。用底面半径和高表示总表面积 $S$ 就体积而言 $V$ 以及圆锥的半顶角 $\theta$ 。证明：对于给定的体积，当 $\sin \theta = \frac{1}{3}$ 时，总表面积最小。求 $S$ 的值，若 $V = \frac{8}{3}\pi a^3$ 。

85 一种比反复细分表格更高效的求最优解的数值方法是下面的区间套定法。初始列表确定解所在的区间。然后通过优化一个合适的二次逼近来估计最优解。

再次考虑牛奶盒问题，例 8.35。计算 A(70)、A(80) 和 A(90)，并推导出最小值出现在 [70, 90] 内。接着求出数 p、q 和 r，使得

$$C(b) = p(b - 80)^2 + q(b - 80) + r$$

满足 $C(70) = A(70)$ , $C(80) = A(80)$ 和 $C(90) = A(90)$ 。 $C$ 的最小值出现在 $80 - q/(2p)$ . 证明这给出了估计式 $b = 82.2$ . 计算 $A(82.2)$ 并由此推出解位于区间内 $[80, 90]$ . 接下来重复

图 8.40 第 81 和 82 题的罐头。

82 再次考虑图 8.40 中所示的罐头。考虑到顶部和底部表面有 6 mm 的重叠以在罐上形成 3 mm 的边缘，证明所用金属的面积 Amm2 由下式给出

$$A(d) = \pi(d^2 + 3.6d + 1.44)/2 + 2000/d$$

其中 d cm 是罐的直径。