使用这些值的过程 $A(80)$ , $A(82.2)$ 和 $A(90)$ 并证明解位于区间 [80, 83.1] 内。再应用一次该方法以获得解的更精确估计。

86 如图 8.41 所示，需要从宽为 1 单位的河流一岸上的点 A 铺设一条管道，到对岸下游 2 单位处的点 B。由于在水下铺设管道比在陆地上成本更高，因此建议将管道沿直线横穿河流到某点 C，然后沿河岸铺设到 B。如果在河底铺设给定长度的管道比沿河岸铺设贵 $\alpha%$ ，请写出管道成本的公式，并仔细说明函数的定义域。当 (a) $\alpha = 25$ , (b) $\alpha = 10$ 时，你会对 C 点的位置给出什么建议？

87 错流萃取方法被用于许多化工过程中。通过用水反复洗涤，从溶剂流中萃取溶质。溶剂流依次通过一系列萃取器，在每一个萃取器中，以确定流速流动的错流洗涤水带走部分溶质。目标是在洗涤水总流量固定的情况下，选择各股洗涤水的流量，使得在结束时萃取出的溶质尽可能多。

考虑图 8.42 所示的三级萃取器过程，其中 $c$ , $x$ , $y$ 和 $z$ 是主流中的溶质浓度， $\alpha x$ , $\alpha y$ 和 $\alpha z$ 是排出的洗涤水流中的溶质浓度，且 $\alpha$ 为常数。各萃取器的溶质平衡方程为

$$Q(c - x) = u\alpha x$$

$$Q(x - y) = v\alpha y$$

$$Q(y - z) = w\alpha z$$

总洗涤水流量为 W，因此

$$u + v + w = W$$

我们希望求出 $u, v$ 以及 $w$ 使得流出浓度 $z$ 最小。

这是动态规划的一个例子。求解的关键是最优性原理，该原理指出：最优方案具有如下性质，即无论初始状态和决策如何，其余的决策必须构成相对于初始决策所产生的状态的最优策略。这意味着我们先对单萃取器过程求解问题，然后对双萃取器过程求解，再对三萃取器过程求解，依此类推。

对于单级过程， $x$ 在 $u = W$ 时最小，得到 $x^* = Qc/(Q + \alpha W)$ 。对于双级过程， $y = Qx/(Q + \alpha v)$ ，其中 $x = \frac{1}{2}W$ 与 $v = \frac{1}{2}W$ , 得到 $y^* = Q^2c/(Q + \frac{1}{2}\alpha W)^2$ 。

对于一个三阶段过程， $z = Q^2 x / (Q + \frac{1}{2} \alpha(W - u))^2$ ，其中 $x = Qc/(Q + \alpha u)$ 。证明当 $z$ 时， $u = \frac{1}{3}W$ 取得最小值，此时 $v = w = \frac{1}{3}W$ ，得到 $z^* = Q^3 c/(Q + \frac{1}{3}\alpha W)^3$ 。

将你的答案推广到使用 $n$ 个萃取器的情况。

88 资源管理通常需要类似于第 87 题所述的一系列决策。考虑一片大型森林的采伐策略。出售砍伐木材所产生的利润与出售木材体积的平方根成正比，而立木的体积则逐年按其自身成比例增长。使用第 87 题中概述的方法为该森林制定一个 10 年的采伐计划。

图 8.41

图 8.42