8.6 数值微分

尽管公式

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

给出了导数的定义 $f(x)$ ，但它并不是数值计算 $f'(x)$ 的良好基础。这是因为它给出的是在 $x$ 处梯度的一种单边近似，如图 8.43 所示。当我们取 $\Delta x = h (> 0)$ 时，得到弦 PR 的斜率。当我们取 $\Delta x = -h (< 0)$ 时，得到弦 QP 的斜率。显然，弦 QR 能更好地近似 P 点处的切线。导数的形式化定义会产生较差近似的另一个原因是，导数的计算涉及一个小量 $\Delta f$ 除以另一个小量 $\Delta x$ 。这一过程会放大根据 $\Delta f$ 的值计算 $f(x)$ , 这一过程随着 $\Delta x \rightarrow 0$ 而不断恶化。这种现象称为病态性。一般而言，数值微分是一个精度损失、且由实验误差引起的“噪声”被放大的过程。

8.6.1 弦近似法

该方法使用关于 $x$ 对称布置的弦 QR 的斜率来近似 $x$ 处切线的斜率，如图 8.44 所示。于是

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} = \phi(h)$$

因此，当函数以图形方式给出时，选取一个 $h$ 的值，并沿曲线在一系列点上计算商 $\phi(h)$ 。当函数以数值表形式给出时，我们无法控制 $h$ 的值，但仍采用相同的近似，以表格间距作为 $h$ 。因此，为了估计导数的值 $f'(a)$ 在 $x = a$ 我们使用近似

$$\frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h} = \phi(h)$$

图 8.43 在 P 点处切线的近似。

图 8.44 弦近似。