作为外推的基础。对于工程应用中几乎所有常见的函数

$$f'(a) = \phi(h) + \text{terms involving powers of } h \text{ greater than or equal to } h^2$$

例如，考虑 $f(x) = x^3$

$$\phi(h) = \frac{(a+h)^3 - (a-h)^3}{2h} = \frac{6a^2h + 2h^3}{2h} = 3a^2 + h^3$$

类似地，对于 $f(x) = x^4$

$$\phi(h) = 4a^3 + 4ah^2$$

一般地，我们可以写成

$$f'(a) = \phi(h) + Ah^2 + \text{terms involving higher powers of } h$$

其中 $A$ 与 $h$ 无关。区间减半得到

$$f'(a) = \phi(\frac{1}{2}h) + \frac{1}{4}A'h^2 + \text{terms involving higher powers of } h$$

其中 $A' \approx A$ 。因此我们通过外推得到更好的估计 $f'(a)$ ，消除了包含 $h^2$ :

$$f'(a) \approx \frac{1}{3}[4\phi(\frac{1}{2}h) - \phi(h)] \quad (8.34)$$

我们在例 8.37 中演示这一技巧。

例 8.37 估计 $f'(0.5)$ ，其中 $f(x)$ 由下表给出

解 利用所给数据，取 $h = 0.4$ 和 $0.2$ ，我们得到

$$\phi(0.4) = \frac{0.7833 - 0.0998}{0.8} = 0.8544$$

和

$$\phi(0.2) = \frac{0.6442 - 0.2955}{0.4} = 0.8718$$

因此，通过外推，利用 (8.34)，我们有

$$f'(0.5) \approx (4 \times 0.8718 - 0.8544)/3 = 0.8776$$

该表列函数实际上是 $\sin x$ ，所以在这个说明性例子中我们可以将估计值与真实值进行比较 $\cos 0.5$ , 我们发现答案精确到小数点后 4 位。