一般来说，任何数值计算过程都会受到两类误差的影响。一类是由计算过程中舍入误差的累积引起的，另一类则源于近似公式的性质（截断误差）。在本例中，截断误差的阶为 $h^2$ 对于 $\phi(h)$ ，但我们没有对 $f'(a)$ 的外推估计的截断误差的估计。这将在下一章介绍泰勒级数之后讨论（见练习 9.4.6 第 23 题）。不过，舍入误差对答案的影响是可以评估的，利用第 1 章的方法，我们可以看到在例 8.37 中舍入误差对答案的最大影响为 $\pm 2.5 \times 10^{-4}$ .

8.6.2 练习

89 使用弦近似法求 $f'(1.2)$ 的两个估计值，使用 $h = 0.2$ 和 $h = 0.1$ 其中 $f(x)$ 由下表给出。

使用外推法获得一个改进的近似值。

90 使用计算器（弧度模式）计算商 ${f(x + h) - f(x - h)}/(2h)$ 对于 $f(x) = \sin x$ ，其中 $x = 0(0.1)1.0$ 和 $h = 0.001$ 。将你的答案与 $\cos x$ 进行比较。

91 考虑函数 $f(x) = xe^x$ ，其数值表如下：

• (a) 精确地求出， $f'(1)$ 和 $f''(1)$ .
• (b) 利用表中的数值和公式

$$f'(a) \simeq (f(a + h) - f(a - h))/2h$$

来估计 $f'(1)$ , 对于各种 $h$ 。计算所涉及的误差并对结果进行评论。

• (c) 对以下情况重复 (b)： $f''(1)$ 使用

  $$f''(a) \approx (f(a + h) - 2f(a) + f(a - h))/h^2$$

92 使用下表中的 $f(x) = (e^x - e^{-x})/2$ 来估计 $f'(1.0)$ ，采用外推方法。

将你的答案与 $(e + e^{-1})/2 = 1.5431$ （精确到 4 位小数）进行比较。

93 研究在例 8.37 中使用较小的 $\lambda$ 值所产生的影响。证明 $\phi(0.1)$ 对……给出了较差的估计 $f'(0.5)$ 以及由此外推的误差界 $[4\phi(0.1) - \phi(0.2)]/3$ 是 $7 \times 10^{-4}$ .

8.7 积分

在本节中，我们将介绍积分的概念，并说明它在问题解决和建模情境中的作用。

8.7.1 基本概念与定义

考虑一个沿直线以恒定速度 $u$ （在 $\text{m s}^{-1}$ 中）运动的物体。该物体在时间 $s$ 和 $t_1$ （以秒为单位）之间经过的距离 $t_2$ （以米为单位）由下式给出

$$s = u(t_2 - t_1)$$