这是速度函数在区间 $t = t_1$ 到 $t = t_2$ 之间“下方”的面积，如图 8.45 所示。当然，这里处理的是速度为常函数的特殊情形。然而，即使速度随时间变化，速度图像下方的面积仍然给出物体行进的距离。考虑图 8.46(a) 所示的速度图像。我们可以用一系列完全位于曲线下方（如图 8.46(b)）或完全位于曲线上方（图 8.46(c6(c))）的小水平线段来近似速度–时间图像。速度–时间图像为 (b) 的物体在任一时刻总是比速度–时间图像为 (a) 的物体慢，因此它走过的距离小于图像为 (a) 的物体走过的距离。类似地，速度–时间图像为 (c) 的物体走过的距离将大于图像为 (a) 的物体。于是

图像 (b) 的距离 < 图像 (a) 的距离 < 图像 (c) 的距离

在情形 (b) 和 (c) 中，由于速度是分段常值函数，走过的距离由区间 $t = t_1$ 到 $t = t_2$ 之间图像下方的面积表示。所以我们有

图像 (b) 下的面积 < 图像 (a) 下的面积 < 图像 (c) 下的面积

如果图像 (b) 和 (c) 的水平阶梯取得非常小，则近似图像 (b) 和 (c) 的面积之差就变得非常小。换言之，图像 (a) 对应的距离恰好就是区间 $t = t_1$ 到 $t = t_2$ 之间图像下方的面积。

这是众多实际问题中的一个，它们在求解过程的某个阶段都涉及这种面积计算。这一过程称为积分：把构成某一面积的所有部分求和。图像下方的面积称为该函数的积分。对于某些函数，可以得到其积分的公式；对于另一些函数，我们只能满足于数值近似。

图 8.45

以恒定速度运动的物体的速度–时间图像 $u$ 。阴影面积表示该物体在时间 $t_1$ 到 $t_2$ 之间行进的距离。

图 8.46

一个速度–时间图像及其两个分段常值近似。