形式上，我们将函数的积分定义为 $f(x)$ 介于 $x = a$ 和 $x = b$ 之间，即

$$\lim_{\substack{n \rightarrow \infty \ \Delta x \rightarrow 0}} \sum_{r=1}^n f(x_r^*) \Delta x_{r-1}$$

其中 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$ 是区间的分点 $[a, b]$ ,

$$\Delta x_{r-1} = x_r - x_{r-1}, \quad \Delta x = \max(\Delta x_0, \Delta x_1, \dots, \Delta x_{n-1}) \text{ and } x_{r-1} \leq x_r^* \leq x_r.$$

这里我们使用了特殊记号

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \Delta x \rightarrow 0$$

以强调 $n \rightarrow \infty$ 和 $\Delta x \rightarrow 0$ 同时成立。积分的值与区间的划分方法无关，也与 $[a, b]$ 以及 $x_^$ 的选择。

积分的常用记号是

$$\int_a^b f(x) dx$$

其中积分符号 $\int$ 是一个拉长的 S，代表“求和”。dx 被称为 $x$ 的微分，而 $a$ 和 $b$ 被称为积分限。被积分的函数 $f(x)$ 称为被积函数。

该过程如图 8.47 所示，其中 $f(x)$ 在 $x \in [a, b]$ 范围内的图像下方的面积被划分成 $n$ 竖直条带（严格来说，我们的意思是用 $n$ 竖直条带来近似该面积）。一个典型条带的面积由下式给出

$$f(x_r^)(x_r - x_{r-1}) = f(x_r^)\Delta x_{r-1}$$

其中 $x_{r-1} \leq x_r^* \leq x_r$ 且 $\Delta x_{r-1} = x_r - x_{r-1}$ 。因此，图像下方的面积可以用下式近似

$$\sum_{r=1}^n f(x_r^*) \Delta x_{r-1}$$

随着条带数量的增加和宽度的减小，该近似值越来越接近精确面积。在极限情况下，当 $n \rightarrow \infty$ 且 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，精确面积由下式给出

$$A = \int_a^b f(x) dx$$

图 8.47
典型值的条带 $x = x_p^*$ .