因此

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n f(x_r^*) \Delta x_{r-1} \quad (8.35)$$

根据积分的定义，我们注意到如果 $f(x)$ 的图像位于 $x$ 轴下方，那么求和就涉及负纵坐标与正宽度的乘积，因此 $x$ 轴下方的面积必须解释为负值。

例 8.38

通过考虑 $y = x + 3$ 图像下方的面积，计算积分 $\int_{-5}^5 (x + 3) dx$ .

解

图像下方的面积如图 8.48 中阴影所示，其中面积 $A_1$ 为负（如上所述），而面积 $A_2$ 为正。所以我们分别确定每个面积。在每种情况下，面积都是三角形，因此

$$A_1 = -\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = -2$$

和

$$A_2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$$

因此

$$\int_{-5}^5 (x + 3) dx = A_1 + A_2 = -2 + 32 = 30$$

图 8.48

例 8.39

利用积分的定义 (8.35)，证明

$$\int_a^b (x^2 - 1) dx = \frac{1}{3} (b^3 - a^3) - (b - a)$$

解

根据定义我们有：

$$\begin{aligned} \int_a^b (x^2 - 1) dx &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \sum_{r=1}^n (x_r^{*2} \Delta x_{r-1} - 1 \Delta x_{r-1}) \right] \ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n x_r^{*2} \Delta x_{r-1} - \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \Delta x_{r-1} \end{aligned}$$

这里的第二项很容易计算，因为 $\Delta x_{r-1} = x_r - x_{r-1}$ 和 $\sum_{r=1}^n (x_r - x_{r-1}) = (x_1 - x_0) + (x_2 - x_1) + \dots + (x_n - x_{n-1})$ ，化简为 $\sum_{r=1}^n (x_r - x_{r-1}) = b - a$ 因为 $x_0 = = a$ 和 $x_n = b$ 。

求第一项有几种不同的方法。这里我们将说明其中一种方法；另一种方法见习题 8.7.3 的第 98 题。我们将对 $x_r^*$ :

$$x_r^* = x_{r-1}, x_r, \sqrt{(x_{r-1} x_r)}$$