（注意 $x_{r-1} < \sqrt{(x_{r-1}x_r)} < x_{r.}$ ）那么我们有

注记与积分 （注意 $$x_{r-1} < \sqrt{(x_{r-1}x_r)} < x_{r,*}$$ ）那么我们有 $$S_1 = \sum_{r=1}^n x_{r-1}^2 \Delta x_{r-1} = \sum_{r=1}^n x_{r-1}^2 (x_r - x_{r-1}) = \sum_{r=1}^n (x_{r-1}^2 x_r - x_{r-1$$

类似地

$$S_2 = \sum_{r=1}^n x_r^2 \Delta x_{r-1} = \sum_{r=1}^n (x_r^3 - x_r^2 x_{r-1})$$

和

$$S_3 = \sum_{r=1}^n x_{r-1}x_r \Delta x_{r-1} = \sum_{r=1}^n (x_{r-1}x_r^2 - x_{r-1}^2x_r)$$

$$\begin{aligned} \text{Hence } S_1 + S_2 + S_3 &= \sum_{r=1}^n (x_r^3 - x_{r-1}^3) \ &= (x_1^3 - x_0^3) + (x_2^3 - x_1^3) + \dots + (x_n^3 - x_{n-1}^3) \ &= x_n^3 - x_0^3 \end{aligned}$$

取极限时 $n \rightarrow \infty$ , $S_1$ , $S_2$ 和 $S_3$ 趋于同一个极限，所以

$$\sum_{r=1}^n x_r^* \Delta x_{r-1} \rightarrow \frac{1}{3} (S_1 + S_2 + S_3) = \frac{1}{3} (b^3 - a^3)$$

因此 $$\int_a^b (x^2 - 1) dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3) - (b - a)$$

8.7.2 利用积分进行数学建模

我们已经看到，图像下方的面积 $y = f(x)$ 可以表示为一个积分，但积分的应用要广泛得多。任何能够表示为如 (8.35) 中那种和的极限形式的量都可以用积分来表示，而这在许多实际情况中都会出现。由于面积可以表示为积分，因此我们总可以在几何上把积分解释为图像下方的面积。

例 8.40 一个底面为边长 4 米的正方形、高为 6 米的棱锥（金字塔）的体积是多少？

解 设想将图 8.49(a) 中的棱锥切成厚度为 $\Delta h$ 的水平薄片，如图 8.49(b) 所示，然后将它们的体积相加，即得棱锥的体积。由图 8.49(b) 可知薄片的体积为

$$\Delta V_k = \text{area of square flat face} \times \text{thickness} = 4d^2\Delta h$$

其中 $2d_k$ 是正方形薄片一边的长度。该边长与薄片在底面上方的高度 $h_k$ 相关，利用相似三角形关系（见图 8.49(c)）可得