解答 根据图 8.50 中给出的尺寸，抛物线的方程为 $y = \frac{2x^2}{45}$ ，

其中 $x$ m 为半宽。将抛物面分成水平窄条，我们可以计算作用在每个窄条上的力，然后将这些力求和得到总作用力。作用在高度为 $\Delta F_k$ 的窄条上的力 $y_k$ 为

$$\Delta F_k = (p_0 - g\bar{y}_k + 10g)(2\bar{x}_k\Delta y_k)$$

其中 $\bar{x}_k$ 和 $\bar{y}k$ 分别是 $x$ 和 $y$ 在 $[y_k, y{k+1}]$ 。因此，利用 (8.35)，总力 $F$ 牛顿由下式给出

$$\begin{aligned} F &= \lim_{\substack{n \rightarrow \infty \ \Delta y \rightarrow 0}} \sum_{k=1}^n \Delta F_k \ &= \lim_{\substack{n \rightarrow \infty \ \Delta y \rightarrow 0}} \sum_{k=1}^n (p_0 - g\bar{y}_k + 10g)(2\bar{x}_k \Delta y_k) \ &= \int_0^{10} 2x(p_0 - gy + 10g)dy \end{aligned}$$

现在 $y = \frac{2x^2}{45}$ ，于是 $2x = (90y)^{1/2}$ 并且我们可以将以下表达式改写 $F$ 为

$$y = \frac{2x^2}{45}$$ ，于是 $2x = (90y)^{1/2}$ 并且我们得到 $F = \int_0^{10} 3\sqrt{10(p_0 + 10g - gy)\sqrt{y}} dy$ 。

稍后在例 8.46 中我们将证明 $F = 200p_0 + 800g$ 。

例 8.42 一根长度为 $l$ 两端均为自由铰接，并承受分布载荷 $w(x)$ 其中

$$w(x) = \begin{cases} 4Wx/l^2 & 0 \leq x \leq l/2 \ 4W(l-x)/l^2 & l/2 \leq x \leq l \end{cases}$$

证明总载荷为 $W$ 并求梁上某一点处的剪力。

解

解 为求梁上的总载荷，我们将区间 $(0, l)$ 分成 $n$ 个长度为 $\Delta x$ 的子区间，于是 $x_k = k\Delta x$ 和 $\Delta x = l/n$ 。那么该子区间上的载荷为 $(x_k, x_{k+1})$ 是 $w(x_k^)\Delta x$ ，其中 $w(x_k^)$ 是 $w(x)$ 在该子区间上的平均值。梁上的总载荷是所有这些微元载荷之和，于是我们有

$$\text{total load} = \sum_{k=0}^{n-1} w(x_k^*) \Delta x$$

这个公式虽然是精确的，但并不太有用，因为我们不知道各个 $x_k^$ 的值。然而，通过取极限，可得 $x_k^ \rightarrow x_k$ 于是我们得到公式

$$\text{total load} = \int_0^l w(x) dx$$