图 8.51
梁上的非均匀 载荷。

现在积分 $\int_0^l w(x) dx$ 是曲线下的面积 $y = w(x)$ 介于 $x = 0$ 和 $x = l$ 之间，通过考虑图 8.51 中所示的 的图形，我们看到这是 $w(x)$ 。

根据载荷的对称性和端部条件，我们看到两端支座处的反力相等（设为 $W$ ）。那么为了平衡，竖向力必须平衡，得到 $R$ 以保持平衡。为了求剪力

$$2R = W$$

$F$ 我们必须考虑 P 左侧梁段的竖向平衡。因此

$$R + F = \text{load between A and P which is represented by the area under the graph between A and P}$$

考虑图像下的面积 $y = w(x)$ 对于 $x$ 表明

$$R + F = \begin{cases} \frac{1}{2}x(4Wx/l^2) & 0 \leq x \leq l/2 \ W - \frac{1}{2}(l - x)[4W(l - x)/l^2] & l/2 \leq x \leq l \end{cases}$$

化简为

$$R + F = \begin{cases} 2Wx^2/l^2 & 0 \leq x \leq l/2 \ W - 2W(l - x)^2/l^2 & l/2 \leq x \leq l \end{cases}$$

因此

$$F = \begin{cases} 2Wx^2/l^2 - W/2 & 0 \leq x \leq l/2 \ W/2 - 2W(l - x)^2/l^2 & l/2 \leq x \leq l \end{cases}$$