8.7.3 习题

• 94 两位飙车手 Alan 和 Brian 参加一场直线加速赛。每人从静止起步，以恒定加速度加速。Alan 用 3 秒跑完赛程的最后四分之一，而 Brian 用 4 秒跑完最后三分之一。谁获胜，时间上领先多少？

  95 证明常函数的图像下方 $f(x) = 1$ 介于 $x = a$ 和 $x = b$ ( $a < b$ ) 之间的面积由 $b - a$ 给出。

  96 证明线性函数的图像下方 $f(x) = x$ 介于 $x = a$ 和 $x = b$ ( $a < b$ ) 之间的面积由 $\frac{1}{2}(b^2 - a^2)$ 给出。

  97 画出函数的图像 $f(x) = 2x - 1$ 对于 $-3 < x < 3$ 。通过考虑图像下方的面积，求积分 $\int_{-3}^3 (2x - 1) dx$ 。

  98 使用 $n$ 等宽的窄条，证明图像下方的面积 $y = x^2$ 在 $x = 0$ 和 $x = c$ 之间满足不等式

  $$h^3 \sum_{r=1}^{n-1} r^2 < \text{area} < h^3 \sum_{r=1}^n r^2$$ 并推导出

8.7.4 定积分与不定积分

我们已经看到图像下方的面积 $y = f(x)$ 在 $x = a$ 和 $x = b$ 由以下积分给出

$$\int_a^b f(x) dx$$

显然，这个面积取决于 $a$ 和 $b$ 的值，也取决于函数 $f(x)$ 。因此，函数 $f(x)$ 的积分可以看作是关于 $a$ 和 $b$ 的函数。如果我们将数 $b$ 替换为变量 $x$ , 我们得到一个函数， $F$ 比如说，它是在 $a$ 和 $x$ 之间的图形下方的面积，如图 8.52 所示。这种类型的积分称为

$$\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$$

证明

$$\int_a^b x^3 , dx = \frac{1}{4}(b^4 - a^4)$$

$$\int_0^l \frac{1}{4} K D^2 \pi x , dx$$

其中 $K$ 是一个比例常数。

$$w = \begin{cases} 4W/l & 0 \leq x \leq l/4 \ 0 & l/4 < x \leq l \end{cases}$$

求梁上某一点处的剪力。