不定积分，以区别于具有固定 a 和 b 的积分，后者称为定积分。我们通过如下关系定义了 F

$$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$

注意这里作为积分变量的哑变量 t 被选为不同于函数 F 所依赖的变量 x。

如果选择不同的下限，就会得到不同的函数，比如 G：

$$G(x) = \int_c^x f(t) dt$$

通过将积分解释为曲线下的面积，我们从图 8.53 中看到，这个新函数与 F 仅相差一个常数。这是因为

$$F(x) - G(x) = \int_a^x f(t) dt - \int_c^x f(t) dt = \int_a^c f(t) dt$$

这是一个定积分，其常数值表示 a 和 c 之间图形下的面积，如图 8.53 中阴影部分所示。

例如，利用积分的定义，我们知道（见例 8.39）

$$\int_a^b (t^2 - 1) dt = \frac{1}{3} (b^3 - a^3) - (b - a)$$

因此

$$\int_a^x (t^2 - 1) dt = \frac{1}{3}(x^3 - a^3) - (x - a) = \frac{1}{3}x^3 - x + (a - \frac{1}{3}a^3)$$

给 a 赋值 1 和 2，得到两个函数

$$F(x) = \int_1^x (t^2 - 1) dt = \frac{1}{3}x^3 - x + \frac{2}{3}$$

以及

$$G(x) = \int_2^x (t^2 - 1) dt = \frac{1}{3}x^3 - x - \frac{2}{3}$$

图 8.52 (a) 的图像 $y = f(x)$ 。(b) 的图像 $\int_a^x f(t) dt$ .

^a f(t)dt。图 8.53