$$\frac{1}{3}x^3 - x + \text{constant}$$

当未指定下限时，我们用

$$\int f(x) dx \quad \text{or} \quad \int^x f(t) dt$$

表示不定积分，并把常数作为一个任意的积分常数包含在内。于是

$$\int (x^2 - 1) dx = \frac{1}{3}x^3 - x + c$$

其中 c 是任意积分常数。

重要的是要认识到，不定积分本身是一个函数，而定积分是一个数。

我们在 8.2.4 节中曾指出，一个函数只能在其图像具有唯一切线的点处求导，例如，由图 8.7(a)（重绘为图 8.54(a)）的图像所表示的函数在定义域值 $x = x_1$ 和 $x = x_2$ 处不可导。然而，这类函数是可积的，其相应的不定积分是具有“光滑”图像的函数。例如，图 8.54(a) 所示函数 $F(x)$ 的不定积分 $f(x)$ 的图像具有图 8.54(b) 所示的形式。因此，工程师常把积分称为一种“平滑”过程，并且在系统设计中常常加入积分器，以确保“更平滑”的运行。

我们可以用不定积分来表示定积分。于是

$$\int_a^b f(x) dx = g(b) - g(a) \quad \text{where} \quad g(x) = \int f(x) dx$$

这通常记作

$$\int_a^b f(x) dx = [g(x)]_a^b$$

这是由傅里叶引入的记号。因此，例如，

$$\int_1^5 (x^2 - 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x + c]_1^5 = [\frac{125}{3} - 5 + c] - [\frac{1}{3} - 1 + c] = 37\frac{1}{3}.$$

在计算定积分时，积分常数可以省略，因为它在运算中会相互抵消。

图 8.54 (a) f(x) 的图像。(b) 的图像

$$F(x) = \int_0^x f(t) d(t).$$