8.7.5 微积分基本定理

由第 8.7.3 节习题的第 95、96 和 98 题可得

$$\int_a^b 1 , dx = b - a, \quad \text{giving} \quad \int 1 , dx = x + \text{constant}$$

$$\int_a^b x , dx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2), \quad \text{giving} \quad \int x , dx = \frac{1}{2}x^2 + \text{constant}$$

$$\int_a^b x^2 dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3), \text{ giving } \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + \text{constant}$$

对应的微分结果为

$$\frac{d}{dx}(k) = 0 \quad k \text{ constant}$$

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

利用 8.3.1 节中微分的和法则与常数乘法法则，

$$\frac{d}{dx}[kf(x)] = k \frac{d}{dx} f(x)$$

$$\frac{d}{dx}[f(x) + k] = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}(k) = \frac{d}{dx}f(x), \quad k \text{ constant}$$

可将上述结果合并为

$$\frac{d}{dx} \left( \int x^2 dx \right) = x^2$$

$$\frac{d}{dx} \left( \int x , dx \right) = x$$

$$\frac{d}{dx} \left( \int 1 , dx \right) = \frac{d}{dx} (x + \text{constant}) = 1$$

这些结果暗示了一个更一般的结论：

微分过程是积分过程的逆过程。

这一猜想也得到了这些过程的基本应用的支持。我们通过对物体的速度函数积分得到物体行进的距离；我们通过对物体的距离函数求导得到物体的速度。这一般性结论被称为积分与微分学基本定理，可以表述为如下定理。