定理 8.1 连续函数的不定积分 $F(x)$ 连续函数的 $f(x)$ 总是存在导数 $F'(x)$ ，而且， $F'(x) = f(x)$ 。

证明 F(x) 的公式可以写成

$$F(x) = \int_a^x f(t) dt, \quad \text{where } a \text{ is a constant}$$

商

$$\frac{F(x + h) - F(x)}{h}$$

可以用 f(x) 表示为

$$\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{\int_a^{x+h} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt$$

考虑当 $h$ 为正的情形。函数 $f(x)$ 是连续的，因此它在 $[x, x + h]$ . 假设它在 $x_1$ 处达到其上界，如图 8.55 所示，并在 $x_2$ 处达到其下界。然后通过考虑图像下方的面积，我们看到

$$hf(x_2) \leq \int_x^{x+h} f(t) dt \leq hf(x_1)$$

这意味着

$$f(x_2) \leq \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt \leq f(x_1)$$

或等价地

$$f(x_2) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x_1)$$

当 $h \rightarrow 0$ , $x_2 \rightarrow x$ 且 $x_1 \rightarrow x$ 时，我们得到结果

$$F'(x) = f(x)$$

（当 h 为负时的证明类似。）

定理结束

这个定理非常重要，在使用微积分解决实际问题时被反复使用。

图 8.55