8.7.6 练习

• 103 利用积分与微分基本定理，计算下列积分：
• (f) $\int \frac{2}{x} dx$ ，注意到 $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$
• (g) $\int \frac{3}{x^2} dx$ ，注意到 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$
• $$(h) \int \cos 2x , dx, \quad \text{noting that } \frac{d}{dx} \sin 2x = 2 \cos 2x$$
• $$\begin{aligned} \text{(i)} \quad & \int \sec 4x \tan 4x , dx, \quad \text{noting that } \frac{d}{dx} \sec 4x \ & = 4 \sec 4x \tan 4x \ \text{(j)} \quad & \int \sqrt{(4x - 1)} , dx, \quad \text{noting that } \frac{d}{dx} (4x - 1)^{3/2} \ & = 6(4x - 1)^{1/2} \end{aligned}$$

8.8 积分技巧

在本节中，我们考虑一些可用于求函数积分的方法。我们仍将专注于发展技巧，把解题应用留到本章后面以及本书的其余部分。求积分的技术过程比求导数复杂得多。在接下来的几节中将讨论求积分的技巧，但这些技巧往往是相互关联的。强烈建议学生逐行地完成这些例子，以获得使用这些技巧的经验。许多函数的积分无法用初等函数表示，有时这些积分本身就定义了新的函数。一个例子是误差函数 $\text{erf}(x)$ 定义为

$$\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$$

它出现在热传导的分析中。一个相关的函数也出现在应用统计学中（见第 13.5.3 节）。