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8.8.1 积分作为原函数
将微积分基本定理应用于前文推导出的一些标准导数 8.3, 我们推导出图中所给的积分 8.56. 更详尽的列表见附录 A1.3 以及 A1.4. 注意我们使用了记号
$$\ln|x| = \begin{cases} \ln x, & x > 0 \ \ln(-x), & x < 0 \end{cases}$$
为了帮助扩充可以解析积分的函数的数量, 利用图中的结果 8.56, 可以使用以下规则.
Rule 1 (标量乘法法则)
If k 是一个常数，则
$$\int kf(x)dx = k \int f(x)dx$$
Rule 2 (求和法则)
$$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Rule 3 (线性复合法则)
If $a and b are constants and $F'(x) = f(x)$ then$
$$\int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + \text{constant}, \quad a \neq 0$$
| $f(x)$ | $\frac{f(x)dx}{\text{Here } c \text{ is a constant of integration}}$ |
|---|---|
| $x^n \quad (n \neq -1)$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln x + c \quad (x > 0) \left. \right} = \ln x + c$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln(-x) + c \quad (x < 0) \left. \right}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + c$ |
| $\cos x$ | $\sin x + c$ |
| $e^x$ | $e^x + c$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + c$ |
| $\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}, x < 1$ | $\sin^{-1} x + c$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\tan^{-1} x + c$ |
Figure 8.56 一些标准积分.