法则 4（反函数法则）

如果 $y = f^{-1}(x)$ ，使得 $x = f(y)$ ，则

$$\int f^{-1}(x) dx = xy - \int f(y) dy$$

法则 5（分部积分法）

$$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$

法则 6（复合函数法则）

$$\int f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + \text{constant}$$

法则 1–3 可直接由积分的定义得出，而 法则 4 可以用图形来证明，如图 8.57 所示。法则 5 和 6 将在 8.8.4 节和 8.8.6 节中讨论。

例 8.43 求下列函数的不定积分

8.8.4 节和 8.8.6 节。 求下列函数的不定积分 (a) $$6x^4 + 4x - \frac{3}{x}$$      (b) $(2 - x)\sqrt{x}$      (c) $\sqrt{(5x + 2)}$      (d) $\frac{x + 1}{x}$

解 (a) 利用数乘法则与和法则，

$$\begin{aligned} \int \left( 6x^4 + 4x - \frac{3}{x} \right) dx &= 6 \int x^4 dx + 4 \int x dx - 3 \int \frac{1}{x} dx \ &= \frac{6}{5}x^5 + 2x^2 - 3 \ln|x| + \text{constant} \end{aligned}$$

图 8.57
图示说明
$\int f^{-1}(x) dx =$
$xy - \int f(y) dy$ .