(b) 观察该函数，我们发现由于它包含平方根，其定义域被限制在 $x \geq 0$ 。展开括号并使用数乘法则与和法则，我们得到

$$\begin{aligned}\int (2-x)\sqrt{x} , dx &= 2 \int x^{1/2} , dx - \int x^{3/2} , dx \ &= \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2} + \text{constant} \quad (x \geq 0)\end{aligned}$$

(c) 考察该函数，我们看到在这种情况下其定义域被限制在 $x$ 大于或等于 $-\frac{2}{5}$ 的值。我们注意到该公式是一个线性函数的平方根，因此我们使用线性复合法则来求其积分。于是，由于

$$\int \sqrt{x} , dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + \text{constant}$$

我们得到

$$\begin{aligned}\int \sqrt{(5x+2)} , dx &= \frac{1}{5}[\frac{2}{3}(5x+2)^{3/2}] + \text{constant} \ &= \frac{2}{15}(5x+2)^{3/2} + \text{constant} \quad (x \geq -\frac{2}{5})\end{aligned}$$

(d) 在这种情况下，我们看到该函数除 $x = 0$ 处外均有定义。将 $(x+1)/x$ 表示为 $1 + 1/x$ 并使用和法则，我们得到

$$\begin{aligned}\int \frac{x+1}{x} , dx &= \int \left(1 + \frac{1}{x}\right) , dx = \int 1 , dx + \int \frac{1}{x} , dx \ &= \begin{cases} x + \ln x + \text{constant} & (x > 0) \ x + \ln(-x) + \text{constant} & (x < 0) \end{cases} \ &= x + \ln|x| + \text{constant}\end{aligned}$$

例 8.44

计算下列定积分

$$\begin{aligned}\text{(a)} \quad \int_1^2 (x^4 + 6x^2 - 4) , dx &\quad \text{(b)} \quad \int_1^2 \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} , dx \ \text{(c)} \quad \int_{-2}^4 4e^x , dx &\quad \text{(d)} \quad \int_0^{\pi/6} (\cos 3x + 2 \sin 3x) , dx\end{aligned}$$

解 (a) 对被积函数中的每一项分别积分再求和，得

$$\begin{aligned}\int_1^2 (x^4 + 6x^2 - 4) , dx &= \left[ \frac{1}{5}x^5 + 2x^3 - 4x \right]_1^2 \ &= \left[ \frac{32}{5} + 2.8 - 4.2 \right] - \left[ \frac{1}{5} + 2 - 4 \right] \ &= 16\frac{1}{5}\end{aligned}$$