(b) 展开被积函数，然后逐项积分，我们得到

$$\begin{aligned}\int_1^2 \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} dx &= \int_1^2 \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} dx \ &= \int_1^2 \left( x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \right) dx \ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x - \frac{1}{x} \right]_1^2 \ &= \left[ \frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2} \right] - \left[ \frac{1}{3} - 2 - 1 \right] = \frac{5}{6}\end{aligned}$$

(c) $$\int_{-2}^4 4e^x dx = [4e^x]_{-2}^4 \quad \text{since} \quad \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \ = 4(e^4 - e^{-2})$$

(d) $$\int_0^{\pi/6} (\cos 3x + 2 \sin 3x) dx = \left[ \frac{1}{3} \sin 3x - \frac{2}{3} \cos 3x \right]_0^{\pi/6} \ = \left[ \frac{1}{3} \sin \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \cos \frac{\pi}{2} \right] - \left[ \frac{1}{3} \sin 0 - \frac{2}{3} \cos 0 \right] \ = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$$

例 8.45

利用反函数法则，求下列函数的积分

(a) $\sin^{-1}x$      (b) $\ln x$

解 (a) 若 $y = \sin^{-1}x$ 则 $x = \sin y$ 且

$$\begin{aligned}\int \sin^{-1}x dx &= xy - \int \sin y dy \ &= xy + \cos y + \text{constant}\end{aligned}$$

利用恒等式 $\sin^2y + \cos^2y = 1$ ，可得

$$\int \sin^{-1}x dx = x \sin^{-1}x + \sqrt{(1 - x^2)} + \text{constant}$$

因为 $\cos y \geq 0$ 在 $\sin^{-1}x$ 的定义域上。

(b) 若 $y = \ln x$ 然后 $x = e^y$ ，并且

$$\begin{aligned}\int \ln x dx &= xy - \int e^y dy = xy - e^y + \text{constant} \ &= x \ln x - x + \text{constant}\end{aligned}$$