Thus

$$M(x) = \begin{cases} \frac{Wx}{6l^2}(4x^2 - 3l^2) & 0 \leq x \leq l/2 \ \frac{W(l - x)}{6l^2}(4(l - x)^2 - 3l^2) & l/2 \leq x \leq l \end{cases}$$

8.8.3 Exercises

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案.

104 求下列函数的不定积分：

(a) $$3x^{2/3}$$

(b) $$\sqrt{2x}$$

(e) $$x^2 + 3e^x - \frac{1}{x^2}$$ (f) $(2x + 1)^3$

(f) $$(2x + 1)^3$$

(g) $$(1 - 2x)^{-1}$$

(h) $$(2x^2 + 1)^3$$

(i) $$\cos(2x + 1)$$                      (j) $2^x$

(j) $$2^x \quad (Hint: 2 = e^{\ln 2})$$

105 求下列定积分

$$(a) \int_2^3 \frac{x , dx}{\sqrt{(x+1)}} \quad (b) \int$$

$$(b) \int_0^1 x(x-1)^{11} dx$$

$$(c) \int_1^2 \left( x^{3/2} - \frac{1}{x^2} \right) dx$$

$$-) dx \quad (d) \int_0^{\pi/2} \sin x dx$$

$$(e) \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{(3 + 2x - x^2)}}$$

(Hint: 替换其中的 x (a) by $(x + 1) - 1$ 以及在中 (b) by $(x - 1) + 1$ .)

106 求下列函数的不定积分：

(a) $$x^{-2}$$

(a) $$x^{-2}$$                      (b) $(x + 1)^{-1/3}$

$$(c) \frac{4x^3 - 7x^2 + 1}{x^2}$$

$$\frac{-7x^2 + 1}{x^2} \quad (\text{d}) \quad \sin x + \cos x$$

$$(e) \frac{1}{9 - 16x^2} \quad (f)$$

$$(f) \quad \frac{1}{\sqrt{(2x - x^2)}}$$

$$(g) \frac{1}{\sqrt{(1 - 9x^2)}} \quad (h)$$

$$(h) \quad \frac{1}{\sqrt{(4 - x^2)}}$$

$$(i) \quad \frac{1}{\sqrt{(1 - x - x^2)}}$$

(j) $$\frac{1}{\sqrt{[x(1-x)]}}$$

$$(k) \quad \frac{1}{\sqrt{(5 + 4x - x^3)}} \quad (1)$$

$$(1) \quad \frac{1}{x^2 + 6x + 13}$$

107 Evaluate

$$(a) \int_0^3 |x - 2| dx \quad (b) \int_0^3 |x| dx$$

$$(c) \int_0^3 [x] dx \quad (d) \int_0^3 [x] dx$$

b) $$\int_0^5 (x-2)H(x-2) dx$$

$$(c) \int_0^3 |x| dx$$

$$(e) \int_0^3 x |x| dx$$

d) $$\int_0^3 \text{FRACPT}(x) dx$$

(e) $$\int_0^3 x[x]dx$$

108 函数 f(x) 是以该值为周期的周期函数 1 且定义在 [0, 1] by

$$f(x) = 1 \qquad 0 \leq x < \frac{1}{2}$$

$$f(x) = -1 \quad \frac{1}{2} \leq x < 1$$

画出它的图像，并求出下列函数的图像

$$g(x) = \int_0^x f(t) dt$$

for $-4 \leq x \leq 4$ . 证明 $g(x)$ 是以 为周期的周期函数 1.

109 画出函数的图象 f(x) 由下式定义

$$f(x) = \int_0^x \sin^{-1}(\sin t) dt$$