8.8.4 分部积分法

微分的乘积法则

$$\frac{d}{dx}(uv) = \frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}$$

经过适当变形后也可用于积分。由上式可得

$$u \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(uv) - v \frac{du}{dxv}$$

两边积分得

$$\int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx$$

当被积函数是两个函数的乘积时，我们可以利用这个结果来求积分。这种方法称为分部积分法。其步骤是：选取乘积中的一项作为 u，另一项作为 dv/dx。然后计算 du/dx 和 v，希望所得的右端积分比原来的积分更容易。下面我们通过几个例子来说明这种方法。

例 8.51 求下列函数的不定积分

• (a) x ln x (b) x² cos x (c) e*^x* sin 2x

解 (a) 对于这个积分，我们设

$$u = \ln x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = x$$

得到

$$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \quad \text{and} \quad v = \frac{1}{2}x^2$$

注：在求 v 时无需引入积分常数。代入分部积分公式得

$$dv/dx u \quad v \quad u \quad v \quad du/dx$$

T T T T T T

$$\begin{aligned} \int x \ln x , dx &= \left(\frac{1}{2}x^2\right) \ln x - \int \left(\frac{1}{2}x^2\right) \left(\frac{1}{x}\right) dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x , dx \ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + \text{constant} \end{aligned}$$