(b) 由于求导会将平方项降为一次项，从而带来一些简化，我们选取

$$u = x^2 \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = \cos x$$

使得

$$\frac{du}{dx} = 2x \quad \text{and} \quad v = \sin x$$

然后用分部积分法得到

$$\int x^2 \cos x , dx = x^2(\sin x) - \int (\sin x)(2x) , dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x , dx$$

现在我们对最后一个积分应用同样的技巧，取

$$u = x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = \sin x$$

得到

$$\int x \sin x , dx = (x)(-\cos x) - \int (-\cos x)(1) , dx = -x \cos x + \sin x + \text{constant}$$

代回可得

$$\begin{aligned} \int x^2 \cos x , dx &= x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + \text{constant} \ &= x^2 \sin x - 2 \sin x + 2x \cos \cos x + \text{constant} \end{aligned}$$

(c) 在此情形下，并不明显看出选取任何 u 和 v 都会得到更简单的积分。设

$$u = \sin 2x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = e^x$$

（仅仅是因为对 sin 2x 积分意味着除以 2 并得到繁琐的分数！）得到

$$\frac{du}{dx} = 2 \cos 2x \quad \text{and} \quad v = e^x$$