$$\begin{aligned}\int e^x \sin 2x , dx &= e^x \sin 2x - \int e^x (2 \cos 2x) , dx \ &= e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x , dx\end{aligned}$$

这完全没有产生任何简化。然而，我们对最后一个积分重复这一过程，注意对第一次积分的部分进行积分，对第一次求导的部分进行求导。于是我们取

$$u = \cos 2x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = e^x$$

得到

$$\begin{aligned}\int e^x \cos 2x , dx &= e^x \cos 2x - \int e^x (-2 \sin 2x) , dx \ &= e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x , dx\end{aligned}$$

代入前面的表达式，我们得到

$$\int e^x \sin 2x , dx = e^x \sin 2x - 2 \left( e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x , dx \right)$$

因此

$$5 \int e^x \sin 2x , dx = e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x)$$

所以

$$\int e^x \sin 2x , dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + \text{constant}$$

对于例 8.51(b)，MATLAB 命令

syms x y
y = (x^2) * cos(x); int(y); pretty(ans)

返回的积分为 $x^2 \sin(x) - 2 \sin(x) + 2x \cos(x)$ ，这与所给解一致。