8.8.5 练习题

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案

• 110 使用分部积分法求下列不定积分
• (c) $x^3 \ln x$

111 使用分部积分法，计算下列定积分

• $$(a) \int_0^{\pi/2} x^2 \sin x , dx$$

• $$(b) \int_1^3 x^2 \ln x , dx$$

• $$(c) \int_0^1 x e^{3x} dx$$

8.8.6 使用一般复合法则求积分

求导的复合函数法则

$$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)$$

可用于计算某些积分。将求导过程反过来，我们可以写成

$$\int f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + \text{constant}$$

这里的关键步骤是识别函数 $g(x)$ 。这不是唯一的：不同的 $g(x)$ 选择可能相差一个常数。为了使运算过程更容易理解，通常设 $t = g(x)$ ，使得积分变为

$$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)dx &= \int f'(t)\frac{dt}{dx}dx = \int f'(t)dt = f(t) + \text{constant} \ &= f(g(x)) + \text{constant} \quad (\text{on back substitution}) \end{aligned}$$

这就是积分的复合函数法则。

这种求积分的方法称为换元法（substitution method）；我们将通过若干例子来说明它的用法。

例 8.52 求不定积分

求不定积分 (a) $$\int 2x\sqrt{x^2 + 3} , dx$$      (b) $\int \frac{x+1}{x^2+2x+2} , dx$