解答 (a) 与上面的一般形式比较表明我们取

$$g(x) = x^2 + 3, \text{ with } g'(x) = 2x$$

令 $t = x^2 + 3$ 于是 $\frac{dt}{dx} = 2x$ ，积分变为

$$\begin{aligned} \int 2x\sqrt{(x^2 + 3)}dx &= \int \frac{dt}{dx}\sqrt{t}dx = \int t^{1/2}dt \ &= \frac{2}{3}t^{3/2} + \text{constant} = \frac{2}{3}(x^2 + 3)^{3/2} + \text{constant} \end{aligned}$$

(b) 与一般形式比较表明我们选取

$$g(x) = x^2 + 2x + 2, \text{ with } g'(x) = 2x + 2$$

这需要对积分稍作修改，得到

$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2}dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$$

其中 $t = x^2 + 2x + 2$ 且 $dt = (2x + 2)dx$ 。因此

$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}dx = \frac{1}{2} \ln t + \text{constant} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 2) + \text{constant}$$

评注

本例是常见形式的一个特例，此时被积函数可以写成

分母的导数
分母

从而积分就是分母的对数。

8.8.7 习题

112 用复合函数法则积分下列函数：

• (a) $x\sqrt{1+x^2}$
• (b) $\cos x \sin^3 x$
• (c) $\frac{x}{(1+x^2)^2}$
• (d) $\frac{x}{\sqrt{(x^2-1)}}$
• (e) $\frac{2x+3}{x^2+3x+2}$
• (f) $\sin^3 x \cos^5 x$
• (g) $\frac{x}{(1+x^2)^2}$
• (h) $\frac{x}{\sqrt{(4-x^2)}}$

113 求常数的值 $a$ 和 $b$ 使得

$$\frac{3x+2}{x^2+2x+5} = \frac{a(2x+2)}{x^2+2x+5} + \frac{b}{x^2+2x+5}$$

并由此求其积分。（注意 $(d/dx)(x^2+2x+5) = 2x+2$ 。）

114 利用第 113 题的技巧来积分

$$(a) \frac{x+1}{x^2+4x+5}$$