(b) $\frac{2x + 3}{\sqrt{(5 + 4x - x^2)}}$

(c) $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$

(c) $\int_4^9 \frac{dx}{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}}$ , 其中 $u = \sqrt{x} - 1$

(d) $\int_1^4 \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$ , 其中 $u = \sqrt{x}$

115 用给定的换元计算下列定积分：

(a) $\int_{1/6}^{1/2} \frac{dx}{(5 + 6x)^3}$ , 其中 $u = 5 + 6x$

(b) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{\tan^{-1}x}{1 + x^2} dx$ , 其中 $u = \tan^{-1}x$

116 证明

$$\int f(x) dx = xf(x) - \int xf'(x) dx$$

利用这个结果计算积分

(a) $\sin^{-1}x$ (b) $\ln x$ (c) $\cosh^{-1}x$ (d) $\tan^{-1}x$

8.8.8 利用部分分式积分

在本节中，我们考虑利用部分分式来计算有理函数的积分。部分分式在 2.5.1 节中已讨论过，它被如此频繁地用于计算这类积分，以至于人们称之为部分分式积分法。

例 8.53

利用部分分式，计算积分

$$(a) \int \frac{6}{x^2 - 2x - 8} dx \quad (b) \int \frac{9}{(x-1)(x+2)^2} dx \quad (c) \int_0^6 \frac{1}{x^2 + 5x + 6} dx$$

解 (a) 将分母分解为 $x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)$ , 我们可以将被积函数表示为部分分式：

$$\frac{6}{x^2 - 2x - 8} = \frac{6}{(x+2)(x-4)} = \frac{-1}{x+2} + \frac{1}{x-4}$$

因此

$$\begin{aligned} \int \frac{6}{x^2 - 2x - 8} dx &= \int \frac{-1}{x+2} dx + \int \frac{1}{x-4} dx \ &= -\ln|x+2| + \ln|x-4| + \text{constant} \ &= \ln\left| \frac{x-4}{x+2} \right| + \text{constant} \end{aligned}$$

(b) 用部分分式我们有

$$\frac{9}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{1}{x-1} + \frac{-1}{x+2} + \frac{-3}{(x+2)^2}$$