则

$$\begin{aligned}\int \frac{9}{(x-1)(x+2)^2} dx &= \int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{3}{(x+2)^2} dx \ &= \ln|x-1| - \ln|x+2| + 3(x+2)^{-1} + \text{constant} \ &= \ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| + \frac{3}{x+2} + \text{constant}\end{aligned}$$

(c) 用部分分式可得

$$\frac{1}{x^2 + 5x + 6} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$$

因此

$$\begin{aligned}\int_0^6 \frac{1}{x^2 + 5x + 6} dx &= \int_0^6 \left[ \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} \right] dx \ &= [\ln(x+2) - \ln(x+3)]_0^6 \ &= \ln(\frac{8}{2}) - \ln(\frac{9}{3}) = \ln 4 - \ln 3 = \ln(\frac{4}{3})\end{aligned}$$

当有理函数含有一个不可约二次因式时，我们利用积分

$$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$$

如例 8.54 所示。

例 8.54

求下列函数的不定积分

$$\begin{aligned}(a) \quad \frac{1}{x^2 - 10x + 50} &\quad (b) \quad \frac{1}{(x+1)(x^2 + 2x + 2)} &\quad (c) \quad \frac{3x^2}{(x-1)(x+2)}\end{aligned}$$

解 (a) 这里的分母是一个不可约二次式：

$$\int \frac{1}{x^2 - 10x + 50} dx = \int \frac{1}{(x-5)^2 + 5^2} dx$$

利用上面的标准形式，可得

$$\int \frac{1}{x^2 - 10x + 50} dx = \frac{1}{5} \tan^{-1}\left(\frac{x-5}{5}\right) + c$$

(b) 将被积函数表示为部分分式，可得

$$\frac{1}{(x+1)(x^2 + 2x + 2)} \equiv \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 2}$$