$$\text{or } 1 \equiv A(x^2 + 2x + 2) + (x + 1)(Bx + C)$$

设定 $x = -1$ 给出 $1 = A$

设定 $x = 0$ 给出 $1 = 2A + C$ 给出 $C = -1$

设定 $x = 1$ 给出 $1 = 5A + 2B + 2C$ 给出 $B = -1$

因此

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x+1)(x^2+2x+2)} dx &= \int \frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx \ &= \ln(x+1) - \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + c \end{aligned}$$

(c) 利用例 2.35 的结果，我们有

$$\frac{3x^2}{(x-1)(x+2)} = 3 + \frac{1}{x-1} - \frac{4}{x+2}$$

因此

$$\int \frac{3x^2}{(x-1)(x+2)} dx = 3x + \ln(x-1) - 4 \ln(x+2) + c$$

例 8.55

求 $\int_0^1 \frac{2}{(1+x)^2(1+x^2)} dx$ 。

解 将被积函数表示为部分分式，我们得到

$$\frac{2}{(1+x)^2(1+x^2)} \equiv \frac{Ax+B}{(1+x)^2} + \frac{Cx+D}{1+x^2}$$

因此 $2 \equiv (Ax+B)(1+x^2) + (Cx+D)(1+x^2)$

比较各次幂的系数， $x$ 得到

$$x^0: B + D = 2$$

$$x^1: A + C + 2D = 0$$

$$x^2: B + D + 2C = 0$$

$$x^3: A + C = 0$$

由此我们推出 $A = 1$ , $B = 2$ , $C = -1$ 和 $D = 0$ 。因此

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{2}{(1+x)^2(1+x^2)} dx &= \int_0^1 \left[ \frac{x+2}{(1+x)^2} - \frac{1x}{1+x^2} \right] dx \ &= \left[ \ln(1+x) - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right]_0^1 \ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2 \end{aligned}$$