8.8.9 练习题

117 使用部分分式法积分

$$(a) \quad \frac{x}{x^2 - 3x - 4} \quad (b) \quad \frac{x}{(x - 1)}$$

$$(b) \quad \frac{x}{(x - 2)^2}$$

(c) $$\frac{1}{x(x+1)}$$

(d) $$\frac{x}{x^2 + 2x + 1}$$

(e) $$\frac{1}{x^2 - 1}$$

$$(f) \quad \frac{1}{x^2(x-1)}$$

$$(g) \quad \frac{1}{x(x-1)(x-2)}$$

(h) $$\frac{1}{1 + x - 2x^2}$$

(i) $$\frac{2x^3}{x^3 - 1}$$

$$\frac{2x^3}{x^3 - 1} \quad (\text{j}) \quad \frac{3x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x(x - 1)(x^2 + 1)}$$

$$(k) \quad \frac{9}{(x-1)(x+2)^2}$$

$$\frac{9}{(x-1)(x+2)^2} \quad (1) \quad \frac{x^2 - 2x + 3}{(x-1)(x^2 - x - 1)}$$

118 将 $12/(x - 3)(x + 1)$ 表示为部分分式，从而证明

$$\int_4^6 \frac{12}{(x-3)(x+1)} dx = 3 \ln \frac{15}{7}$$

8.8.10 涉及三角函数和双曲函数的积分

在本章前面的许多例子中，我们已经看到对被积函数进行精心选择的重新排列如何使得求非标准积分成为可能。这种重新排列方法被广泛用于求正弦和余弦乘积的积分。它利用了三角恒等式（第 2.6.4 节）以及积分法则。同样的技巧也适用于双曲正弦和双曲余弦。

例 8.56 求下列函数的不定积分

(a) $$\cos^2 x$$      (b) $\sin(\sin(5x + 1)\cos(x + 2))$

解答 (a) 首先我们利用恒等式将 cos2 x 用 cos 2x 表示

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$$

$$\begin{aligned} \text{So } \int \cos^2 x , dx &= \int \frac{1}{2}(\cos 2x + 1) , dx \ &= \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{2}x + \text{constant} \end{aligned}$$

(b) 首先我们将该乘积表示为两个正弦项之和

$$\sin(5x + 1)\cos(x + 2) = \frac{1}{2}[\sin(6x + 3) + \sin(4x - 1)]$$

然后我们利用积分法则求积分

$$\int \sin(5x + 1)\cos(x + 2)dx = -\frac{1}{12}\cos(6x + 3) - \frac{1}{8}\cos(4x - 1) + \text{constant}$$

在其他例子中，我们会用到一般复合函数法则以及分部积分法。