例 8.57 求下列不定积分

(a) $$\sin^3 x \cos^2 x$$      (b) $\tan x$

解 (a) 这里我们可以将该乘积改写为

$$\sin x(1 - \cos^2\cos^2x)\cos^2x$$

于是我们有积分

$$\int \sin^3 x \cos^2 x , dx = \int (\cos^2 x \sin x - \cos^4 x \sin x) dx$$

现在 $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ ，所以利用一般复合法则可得

$$\int \sin^3 x \cos^2 x , dx = -\frac{1}{3}\cos^3 x + \frac{1}{5}\cos^5 x + \text{constant}$$

(b) 这里，我们同样注意到 $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ ，从而得到

$$\int \tan x , dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} , dx = -\ln \cos x + \text{constant}$$

并且由于 $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ ，我们可以将其写为

$$\int \tan x , dx = \ln \sec x + \text{constant}$$

有时用不同方法求同一个积分可能得到看似不同、但仅相差一个常数的结果。

例 8.58 求下列不定积分

(a) $$\sinh 5x \cosh 2x$$      (b) $\operatorname{sech} x$

解 (a) 这里我们将被积函数改写为 $\frac{1}{2}(\sinh 7x + \sinh 3x)$ 从而得到

$$\int \sinh 5x \cosh 2x , dx = \frac{1}{14} \cosh 7x + \frac{1}{6} \cosh 3x + \text{constant}$$