或者，我们也可以用指数函数来表示被积函数

$$\begin{aligned} \int \sinh 5x \cosh 2x , dx &= \frac{1}{4} \int (e^{5x} - e^{-5x})(e^{2x} + e^{-2x}) dx \ &= \frac{1}{4} \int (e^{7x} - e^{-7x} + e^{3x} - e^{-3x}) dx \ &= (e^{7x} + e^{-7x}) + \frac{1}{3} (e^{3x} + e^{-3x}) + \text{constant} \ &= \frac{1}{14} \cosh 7x + \frac{1}{6} \cosh 3x + \text{constant} \end{aligned}$$ (b) $\int \operatorname{sech} x , dx = \int \frac{1}{\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} , dx = \int \frac{2e^x}{e^{2x} + 1} , dx$

$$= 2 \tan^{-1}(e^x) + \text{constant}$$

或者，我们可以写成

$$\int \frac{1}{\cosh x} dx = \int \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} dx = \int \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} dx = \tan^{-1}(\sinh x) + \text{constant}$$

因为 $\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$ .

留给读者作为练习证明（利用习题 2.6.9 中第 69 题的结果）：

$$2 \tan^{-1}(e^x) = \tan^{-1}(\sinh x) - \frac{\pi}{2}$$

8.8.11 习题

119 求下列不定积分

(a) $$\sin 3x \cos 5x$$

(a) $$\sin 3x \cos 5x$$      (b) $\cos 7x \cos 5x$

(c) $$\sin^2 x$$

²x (d) $$\cos^2 x$$

(e) $$\cosh^2 x$$

²x (f) $$\sinh(5x + 1)$$

120 计算下列定积分

$$(a) \int_0^\pi \sin 5x \sin 6x , dx \quad (b) \int_0^\pi \sin^2 5x , dx$$

8.8.12 换元积分法

有时可以通过更换积分变量来简化积分。这以略有不同的方式运用了复合函数法则（第 8.8.6 节）。例 8.59 对此进行了说明。

例 8.59 求不定积分

$$\int \frac{1}{2 + \sqrt{1-x}} dx$$