解 这个积分的难点在于分母中的平方根项。我们尝试用换元来简化积分 $t = \sqrt{(1-x)}$ 于是 $x = 1 - t^2$ 且 $dx/dt = -2t$ ，得到

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{2 + \sqrt{(1-x)}} dx &= \int \frac{1}{2 + t} \frac{dx}{dt} dt = \int \frac{1}{2 + t} (-2t) dt \ &= \int \frac{-2t}{2 + t} dt = 2 \int \left( \frac{2}{2 + t} - 1 \right) dt \ &= 4 \ln(2 + t) - 2t + \text{constant} \ &= 4 \ln[2 + \sqrt{(1-x)}] - 2\sqrt{(1-x)} + \text{constant} \end{aligned}$$

这类换元的选择并不总是显而易见的。我们将再考虑一个例子，然后给出常用于简化积分的换元列表。

例 8.60

求不定积分 $\int \sqrt{(1-x^2)} dx$ , $0 \leq x \leq 1$ 。

解 基于例 8.52 的经验，我们倾向于尝试用换元来去掉平方根项

$$u = \sqrt{(1-x^2)}$$

则 $u^2 = 1 - x^2$ 且 $2u = -2x dx/du$ ，因此

$$\frac{dx}{du} = -\frac{u}{x} = -\frac{u}{\sqrt{(1-u^2)}}$$

得到

$$\int \sqrt{(1-x^2)} dx = -\int \frac{u^2 du}{\sqrt{(1-u^2)}}$$

这使得我们得到一个比最初那个更复杂的积分。

因此在这种情况下，简单的换元法行不通，我们需要寻找更巧妙的换元方法，同时要记住我们想要做的是去掉那个棘手的平方根项 $\sqrt{(1-x^2)}$ 。注意到 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ 我们尝试换元 $x = \sin\theta$ ，于是 $\frac{dx}{d\theta} = \cos\theta$ ，得到

$$\begin{aligned} \int \sqrt{(1-x^2)} dx &= \int \sqrt{(1 - \sin^2\theta)} \frac{dx}{d\theta} d\theta \ &= \int \cos\theta \cos\theta d\theta \ &= \int \cos^2\theta d\theta \end{aligned}$$