我们现在希望求出该区域的形心坐标。为此，我们依次对 $(\bar{x}, \bar{y})$ 轴和 $x$ 轴取面积矩。与之前一样，我们将该区域细分为 $y$ 个窄条，子区间 $n$ 中的一个典型窄条如图 8.64(b) 所示。窄条的面积为 $[x_{r-1}, x_r]$ ，该面积对

$$\Delta A_r = [f(x_r^) - g(x_r^)] \Delta x_{r-1}$$

轴的矩为 $y$ 于是，这

$$\Delta M_{y_r} = x_r^* \Delta A_r = x_r^* [f(x_r^) - g(x_r^)] \Delta x_{r-1}$$

个窄条对 $n$ 轴的矩之和为 $y$ 轴为

$$\sum_{r=1}^n \Delta M_{y_r} = \sum_{r=1}^n x_r^* \Delta A_r = \sum_{r=1}^n x_r^* [f(x_r^) - g(x_r^)] \Delta x_{r-1}$$

取极限 $n \rightarrow \infty$ , $\Delta x \rightarrow 0$ , $\Delta x = \max_r \Delta x_r$ ，我们得到平面图形关于该 $y$ 轴的矩为

$$M_y = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{\Delta x \rightarrow 0}^n x_r^* [f(x_r^) - g(x_r^)] \Delta x_{r-1} = \int_a^b x[f(x) - g(x)] dx$$

因为被积函数中的‘ $x$ ’的幂次为‘1’，所以这被称为图形关于 $y$ 轴的一次矩（面积矩）。由于平面图形形心的 $x$ 坐标为 $\bar{x}$ ，因此图形关于 $y$ 轴的矩也可由下式给出

$$M_y = A \bar{x}$$

联立等式，我们得到

$$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_a^b x[f(x) - g(x)] dx \quad (8.38)$$

其中面积 $A$ 由 (8.37) 给出。

同样地，对 $x$ 轴取矩，

$$\begin{aligned} M_x = A \bar{y} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \sum_{\Delta x \rightarrow 0}^n \frac{1}{2} f(x_r^) f(x_r^) \Delta x_{r-1} - \sum_{r=1}^n \frac{1}{2} g(x_r^) g(x_r^) \Delta x_{r-1} \right] \ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \sum_{\Delta x \rightarrow 0}^n { [f(x_r^)]^2 - [g(x_r^)]^2 } \Delta x_{r-1} = \frac{1}{2} \int_a^b { [f(x)]^2 - [g(x)]^2 } dx \end{aligned}$$

得到

$$\bar{y} = \frac{1}{2A} \int_a^b { [f(x)]^2 - [g(x)]^2 } dx \quad (8.39)$$

其中 $A$ 同样由 (8.37) 给出。

在 $g(x)$ 为 $x$ 轴的特殊情况下，我们发现由 $f(x)$ ( $x \in [a, b]$ ) 与 $x$ 轴具有坐标

$$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_a^b x f(x) dx, \quad \bar{y} = \frac{1}{2A} \int_a^b [f(x)]^2 dx \quad (8.40)$$