8.9.3 旋转体的重心

按照 8.9.2 节的方法，我们可以求得 $(\bar{X}, \bar{Y})$ 由 $f(x)$ ( $x \in [a, b]$ 生成的旋转体（如图 8.60 所示）的重心坐标。由对称性可知，它位于 $x$ 轴上，因此

$$\bar{Y} = 0$$ 对 y 轴取矩可得

$$V\bar{X} = \lim_{\substack{n \rightarrow \infty \ \Delta x \rightarrow 0}} \pi \sum_{r=1}^n x_r^[f(x_r^)]^2 \Delta x_{r-1} = \pi \int_a^b x[f(x)]^2 dx \quad (8.41)$$

从而得到

$$\bar{X} = \frac{\pi}{V} \int_a^b x [f(x)]^2 dx \quad (8.42)$$

其中体积 $V$ 由 (8.36) 给出。

8.9.4 平均值

在许多工程应用中，我们需要知道连续变化量的平均值。当处理一系列数值时，我们可以简单地将这些值相加，再除以所取数值的个数来计算平均值。而当处理连续变化的量时，我们无法直接这样做。然而，利用积分，我们能够计算平均值。

考虑函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 并将区间分成 $n$ 个宽度相等的窄条 $h$ 使得 $nh = b - a$ 。现在在每个窄条的中点处求函数值。形式化地，设 $x_k = a + kh$ 为分点，则求值点为 $f(x_k^)$ 其中 $x_k^ = x_k + h/2$ 。那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的平均值（m.v.）近似为

$$\text{m.v.}(f(x)) \approx \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k^) = \frac{1}{b-a} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k^)h$$

现在允许 $n \rightarrow \infty$ （其中 $h \rightarrow 0$ ），求和变为积分，近似变为完全精确。因此

$$\text{m.v.}(f(x)) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \quad (8.43)$$

其图形表示使情况十分清楚。在图 8.65 中，直线 $y = (\text{mean value})$ 上方阴影面积之和等于其下方阴影面积之和，因此矩形 ABCD 的面积与曲线和 $x$ 轴之间的面积相同。